1、 在点电荷形成的静电场中，除电荷所在点之外，处处散度为零，试解释之（不用计算）。
答：真空中
。可见，在无电荷处
，故
必处处为0。其原因在于：散度表示有源或无源，在电场中即是电场线的起点或终点。点电荷形成的电场中，正电荷发出电场线，负电荷终止电场线，是电场线的源和负源。因此，只在有电荷处散度才不为0。
2、在
、
、
、
、
、
、
中，哪个有意义？哪个无意义？
答：
，
，
，
，
有意义；
，
无意义。
3、 标量场 
中，试问在怎样的情况下，场中点
沿其矢径r的方向导数等于该点梯度的大小？
答：梯度:
，
其中
显然当a＝b＝c时二者相等,此时
.
4、 如果给定矢量场的散度和旋度，并且给定矢量场在区域边界上的切线分量，
答：不能唯一确定。正确的是：如果给定矢量场在区域V内的散度和旋度，并且给定矢量场在区域边界S上的法向分量，则该区域里的矢量场唯一确定。下面证明。利用反证法
设有两矢量
同时满足上述条件，令两个矢量之差
,
则
满足下列条件:
(1)
因为
,可将表示为
,代入上式,得:
(2)
利用格林公式:
,令
.
有 
(3)
将(2)式代入(3)中,得: 
, (4)
因为
,要使(4)式成立,必有
,即:
可见只有给定矢量场在区域边界上的法向分量,矢量场唯一确定
5.试判断下列矢量场
是否是均匀矢量场?
(1)柱坐标系中:
,其中
都是常数.
(2)球坐标系中:
,其中
是常数
解:(1)柱坐标系中,
方向变化,因此不能判断,用直角坐标系的
方向不变,将用直角坐标表示
结果表明,是均匀矢量场.
(2)球坐标系中,
方向变化,将用直角坐标表示
其中,
.
6.已知矢量函数
((1)若
是无旋的，确定常数
(2)确定其负梯度等于的标量函数V
解: (1)由于
依题意:
(2)
已知
,即
7.空间一点P其柱面坐标为
,球面坐标为
,试在这两种坐标系中分别写出矢径
的表达式;并由此证明在这两种坐标系中的散度都等于3,而其旋度都等于零.
解. (1)柱面坐标中:
,
柱面坐标中:
(2)球面坐标:
[
