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第一章 电磁现象的普遍规律

发布时间 : [2011-04-26]          阅读:

1、 有人说:“当电荷分布具有某种对称性时,只要根据高斯定理的积分形式这一个方程就可以求解静电场的分布。”对此你的看法如何?

答:从物理意义上看,高斯定理只反映了静电场性质的一个侧面(有源场),它对静电场性质的描述是不完备的,只有在特殊情况下,才能依据这种不完备的描述,来确定电场的分布。在电场分布不具有高度对称的情形下,应配合环路定理,才能充分描述静电场。

从数学上看,在积分结果一定情况下,被积函数不能唯一确定,一般情况下,不能单靠高斯定理求解的函数关系,只当电场分布高度对称时可以作出这样的高斯面。高斯面应满足:(1)高斯面一定要通过待求场强的那一点;(2)高斯面的积分部分或者与垂直,或者与平行;(3)与垂直的那部分高斯面上各点场强相等;(4)高斯面的形状比较简单,只有这样作为常量可从积分号中提出,才能由高斯定理求解出

2、 有人说:“只要力线不是涡旋状的,矢量场的旋度就一定等于零。”这句话对否?你能否找到一个反例?

答:这句话不对.力线是涡旋状的场,一定会有一些点的旋度不等于零。是有旋场;但力线不是涡旋状的场,却不一定处处无旋.例如:匀速运动的点电荷,电场线仍然不是涡旋状的,但电场的旋度不等于零,

3、 平行板电容器的极板面积为S,板间距离为d,所带电荷为,求任一板所受的电场力是,还是

答:因每个极板受的力是另一板产生的电场对它的作用力,,每个极板产生的电场为,所以

4、 有人说:“当稳恒电流的分布具有某种对称性时,只要根据安培环路定律就可以求解稳恒电流的磁场分布”。对此你的看法如何?

答:可以利用环路定理求解磁场的电路,要求找到这样的积分路径在此路径上各点沿路径方向的分量相同,可以把它从积分号中提出来,即,这时只对路径积分,而这个路径积分很容易算出的;还有一种情况是,在所选积分路径上的某些部分,在其余部分为一恒量,这时也可以求出磁场,但是,如果电流回路是任意的,磁场没有较强的对称性,我们就只能由安培环路定理计算的环流,而求不出

5、 有一个金属圆环,由电阻分别为R1和R2的两个半圆环组成,R1>R2。此圆环放在如图所示的均匀磁场B中,当B增加时,比较A、B两分界面电势的高低。

答:由法拉第电磁感应定律知,金属环内的感生电场方向是

逆时针的,而且在R1段,R2段中的电动势相等,与材料无关.相当于两个电动势顺接串联

.

由闭合电路欧姆定律,,

所以

6、 有人说电磁场的场源是电荷、电流,有人说除此之外还有变化的电场和变化的磁场,你的看法如何?

答:后者说法正确。因为变化的磁场激发电场(法拉第电磁感应定律),变化的电场也激发磁场(麦克斯韦位移电流假设)。

7、 说明传导电流和位移电流的异同。

答:区别——传导电流:

(1)由电荷运动产生与电荷宏观定向移动相关;(2)存在于导体中,方向始终与电场方向相同,;(3)有热效应,遵从焦耳—楞次定律。

位移电流:(1)由变化的电场产生,与电荷宏观运动无关;(2)可存在于真空、介质和导体中,方向与电场方向可以相同,也可以相反,;(3)在导体中无热效应,在介质中发热,不遵从焦耳—楞次定律。

联系:(1)都可以激发磁场;(2)都遵从安培环路定理;(3)都具有相同的单位安培。

8、 有人说:“高斯定理本是由库仑定律推证出来的,当随时间改变时,高斯定理仍然成立,但库仑定律却需要修改。推证出发点的适用范围小于结果的适用范围,这不合逻辑。应该如何解释这个问题。

答:库仑定律是直接从实验中总结出来的,是整个静电学理论的实验基础,由于它只是从电荷相互作用的角度研究静电现象局限性较大,只适用于相对静止的点电荷的场。高斯定理和环路定理是库仑定理的推论,由于它们是用场的观点,从两个不同侧面,对静电场的基本性质给出了完整描述。适用于一切场源电荷激发的场,这是经过实验验证,说明高斯定理更具有普遍意义。

当然,从另外一个角度,也可以先从实验中总结出高斯定理和环路定理,再由它们导出库仑定律。比如:可根据检验空腔导体内不带电的实验得出高斯定理,再将高斯定理应用于中心置一点电荷的闭合球面,即可导出库仑定理,因此高斯定理和环路定理又叫静电场第一、二定律,此时库仑定理只处于推论地位。

9、 有人说:“只要自由电荷分布相同,有介质存在时静电场中矢量与真空中静电场的关系都是”。这种说法对吗?正确的说法是什么?

答:不对.正确的说法是:当自由电荷分布相同时,而且均匀介质充满整个空间或者分区充满整个空间,但分界面必须是等势面,才有.

10、 根据边值关系完成下列场矢量图。

(1),已知D2,画出D1

(2),已知E1,画出E2

(3),已知H2,画出H1

(4),已知B1,画出B2

答:(a),(b)

(c),(d)

11、 在介质中存在稳恒电流条件下,导出介质分界面上电流密度的边值关系;并证明在界面上电流线的偏折为

式中分别为介质的电导率,为界面两侧电流线与界面法线的夹角。

(1)证明:对稳恒电流:,在介质界面上满足 作如图所是的圆柱形闭合曲面,

上下底面无限靠近界面,则有:

即:

(2)利用(1)的结果及电场的边值关系:

得:,两式相除便得:

,即:

12、 说明体电荷密度ρ和面电荷密度σ的定义和它们之间的关系。

答:所谓电荷的体密度,就是单位体积内的电荷。考虑带电体内某点P,取一体积元包含P点,设内全部电荷代数和为,则P点电荷体密度定义为是数学上抽象,实际只要宏观上看足够小即可。称为电荷面密度,它的物理意义是单位面积电荷也应是宏观看很小,微观看很大。

我们可以将表面层抽象出一个没有厚度的几何面,如下,可以设表面层厚度为,层内电荷体密度,取面积为的一块表面层,它的体积为,其中包含电荷,设想,保持乘积为有限值。

13、 半径为R,厚为h(h< 的圆介质盘均匀极化,已知介电常数为,极化强度矢量与盘的一个直径平行,求盘中心的总电场强度和极化电荷在盘中心激发的电场强度。

解:(1)由于得:

(2)极化电荷面密度:,分布于盘的边缘,

,极化电荷在中心的场为:,方向与极化方向相反.

14、 已知某一区域给定电流密度,其中c为大于零的常数 (1)在此瞬间电荷密度的时间变化率是多少?(2)求此时以原点为球心,a为半径的球的总电荷的时间变化率.

解: ,根据电荷守恒定律:

15、 有一介质球,半径为a,沿矢径极化,极化强度与矢径之长度成正比,,求极化电荷体密度和表面电荷密度,并证明总电荷为零。

解:(1)极化电荷体密度

(2)表面极化电荷密度

(3)介质球总电荷

说明介质球在电场作用下发生极化电荷分布发生变化,但电荷总量不变。

16、 在双线传输的直流电路中,电磁能流是由电源流向负载的,还是由正极流向负载,再把剩余的带回负极?

答:是由电源流向负载的。在直流电路中电磁能并非通过电流传输,而是通过导线周围的电磁场场从电源传输至负载。

17、 一个电介质圆柱,电容率为,绕其轴以角速度旋转。设圆柱置于均匀外磁场中,的方向与圆柱轴线平行,试问介质圆柱内及表面有极化电荷分布吗?若有,计算极化电荷密度。

答:介质圆柱内及表面都有极化电荷分布。在由于介质圆柱

内取一体积元dv,它受到的磁场力

此力等效于一电场作用于体积元dv上,等效电场

极化强度

极化体电荷密度

极化面电荷密度

18、 如图1-18所示,假如静电场某一部分的电场线的形状是以O点为中心的同心圆弧,该部分上每点的电场强度都与该点离O点距离成反比吗?试加以证明.

解答:该部分每点的电场强度都应与该点离O点距离成反比.证明如下:取以O为原点的柱坐标系,z轴垂直于纸面.分析知:电场方向沿

方向,且电场与z无关.只是r的函数,即,静电场满足

,即:

于是,得

,

结论:此区域内的电场强度与该点离O点距离成反比.

19、 通过导体中各处的电流密度不同,那么电流能否是恒定电流?为什么?举例说明。

答:可以是恒定电流。恒定电流只是要求,.某处电流密度与时间无关.但可以是空间坐标的函数.

如恒定电流通过粗细不均的导体,导体中各处的电流密度不同.

20、 简述真空中麦克斯韦方程组的建立过程。

① 由高斯定理和库仑定律得真空中静电场的微分方程:

② 由毕奥——萨伐尔定律得真空中静磁场的微分方程:

③ 加上电磁感应定律和位移电流假设得真空中麦克斯韦方,

21、 考察真空中的麦克斯韦方程组,总结电场、磁场的产生方式及性质。

电场有两种产生方式:

a. 电荷产生的电场是有源无旋场,

b . 变化的磁场产生的电场是无源有旋场。

磁场有两种产生方式:

a .电流产生的磁场是有旋无源场,

b.变化的磁场产生的电场是有旋无源场。

22、 介质中可以有几种电流密度?

答:三种(1)自由电流密度;(2)在外磁场下分子电流的规则取向形成的磁化电流密度;(3)电场变化时介质的极化强度发生变化产生的极化电流密度

23、 麦克斯韦方程组描述了电磁场的规律,而微分形式的麦克斯韦方程组却不能用于介质界,面上,是否能得出在介质界面上电磁规律失效?

答:不能,在介质界面上,场量会有跃变,因而场量的微分不再存在,使微分方程失效,而不是电磁规律失效;积分形式的麦克斯韦方程组仍然有效。

24、 什么因素引起界面两侧法向分量跃变?什么因素引起界面两侧,,切向分量跃变?

答::自由电荷面密度引起法向分量的跃变。

,极化电荷面密度引起法向分量的跃变。

;总电荷面密度引起法向分量的跃变。

,自由电流线密度引起切向分量的跃变。

;磁化电流线密度引起切向分量的跃变。;总电流线密度引起切向分量的跃变.

25.由毕—萨定律出发证明磁场的”高斯”定理.

证明:

由于

又因为

26.静场中存在能流吗?试证明在同一空间中存在静止电荷的静电场和永久磁铁的磁场.此时可能存在物理量,以及,但没有能流。对空间任意闭和曲面,有

答:静场中不存在能流,因为能流是描述电磁场的能量运动的物理量,静场虽然具有能量,但能量是静态分布,不传播,不运动。

证明:

对静电场,,又因为空间只有永久磁铁,传导电流。且为静场

根据Maxwell方程

27.我们在推导Maxwell方程,应用了电磁感应定律

当回路相对于观察者(实验室)静止不动时,上式变为

我们有知道不仅磁场变化可以产生感应电动势,导体回路运动时也可以产生感应电动势,显然上式推导过程中未考虑动生电动势,那么的出的结果具有普遍性吗?你怎样理解?

答:虽然结果是从特殊情况得出的,但却是普遍成立的。下面来讨论普遍情况:当回路相对于观察者(实验室)以速度v沿着某一方向运动时,dt时间内回路上线元运动过的位移,则

所以

第一项代表回路L不动,而磁场B变化产生的感生电动势.第二项代表磁场B恒定不变而回路L运动产生的动生电动势,但等式左端的是相对于回路L的感生电场,不是相对于实验室的,磁场B是实验室参考系中的测量结果。

则有:

其中即是实验室参考系中的测量的感生电场。变换式就是不考虑相对论效应时,不同参考系中电磁场的变换关系,参阅第七章狭义相对论内容。

28.下面的矢量函数中哪些可能是真空中稳恒磁场?如果是,求其源电流

解:作为稳恒磁场,必须满足

,故不能描述

故可以描述

故可以描述

29.证明通过空间任意闭和曲面的自由电流和位移电流的总量为零。

证明:通过空间任意闭和曲面的自由电流和位移电流的总量为

根据Maxwell方程

因此

30.计算正在缓慢充电的电容器的能流.

解:设电容器由半径为R的两块圆形平板构成,间距为h.

如图1-30.由于

得电容器内磁场

单位时间由电容器侧面流入电容器的能量为

电容器中的能量

结论:能量不是从导线中流过来的,而是从电容器外面的空间中通过电容器侧面流进电容器的.

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