2.矢量场的一些定理

一、关于散度旋度的四个定理

1.标量场的梯度必为无旋场， 即

2.矢量场的旋度必为无散场， 即

3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。

即:若，则，称为无旋场的标势函数。

4.无源场必可表示为某个矢量场的旋度。

即:若，则，称为无源场的矢量势函数。

二、亥姆霍兹定理

任意的矢量场（）均可以分解为无旋场和无源场 之和，即，。又称为的横场部分，可引入标势，。又称为的纵场部分，可引入矢势，。

三、一个矢量场被唯一确定的条件——唯一性定理

定理： 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量，则该矢量场在区域内是唯一确定的。

证明： 假定有两个矢量场均满足上述条件

即

则

引入，

则

∵，引入，，

（在面上）。

根据格林第一公式（含）

得 （∵在面上）

由于被积函数，故上式成立，必有，即。

注：方程组若有解，则该解在上述条件下不必唯一，但该方程组是否有解与和有关，只有当它们满足下述条件时才有解存在，

由 及

得：

四、高斯定理

闭合曲面积分与体积分的变换关系，有时也称为高斯公式

五、斯托克斯定理

闭合曲线积分与曲面积分的变换关系,称为斯托克斯公式

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