A梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个函数,它是空间和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯度、散度、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
二、标量场的梯度
梯度：大小等于该点变化率的最大值，方向沿变化率最大的方向，并指向标量增加的方向，即：
任意方向的变化率：
等值面： 常数的曲面称为等值面。
梯度与等值面的关系：梯度垂直于等值面。
 是矢量微分算子，直角坐标系中的表示
 具有矢量性质，分量是微分符号。
 ， ，不能互换
B矢量场的散度
一、 矢量场的通量
1． 矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
2． 通量： 通过有限面积 的通量上
 ，
闭合曲面，通量上 ， 方向，由面内指向面外。
 ， 场线进入的少，穿出得多，称面内有源。
 ， 场线进入的与穿出得同样多，称面内无源。
 ， 场线进入的少，穿出得少，称面内有负源。
意义： 用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不
能反映空间一点的情况。
二、矢量场的散度
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，单位体积的通量
矢量的散度（divergence）：
 ,有正源；
 ,负源
 ,无源，
C矢量场的旋度
一、矢量场的环量（环流）
矢量沿任一闭合曲线 的积分
 表明在区域内无涡旋状态，不闭合，
 表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，
意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，具有局域性质。
二、矢量场的旋度
当无限缩小，它用的面积化为 时，
定义：矢量场的旋度的法向分量
  ， 为法线上单位矢。
，它在法线方向上的分量为单位面积上的环量刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。
若空间各点 ，则称为无旋场。
 ，则称为有旋场
D梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表示
一、矢量微分算子（哈密顿算子）
直角坐标
柱坐标 
球坐标 
二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系
1.柱坐标与直角坐标
 
2.球坐标与直角坐标
三、梯度、散度、旋度在直角坐标、柱坐标、球坐标的表示
1.直角坐标系：
，
  
2．柱坐标系：
3.球坐标系：
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